Podporováno Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy prostřednictvím projektu
CZ 1.07/2.2.00/28.0168

Jak udělat výuku matematiky zajímavější pomocí softwaru Mathematica

Vladimír Vaněk a Filip Švrček
Katedra algebry a geometrie, PřF UP Olomouc

Motivace

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Je nudná a obtížná

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Nudná a obtížná

Úbytek mladých lidí zajímajících se o ni

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Nudná a obtížná

Úbytek mladých lidí zajímajících se o ni

Nedostatek studentů matematických oborů na vysokých školách

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Nudná a obtížná

Úbytek mladých lidí zajímajících se o ni

Nedostatek studentů matematických oborů na vysokých školách

Prohloubení těchto problémů v budoucnu

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Nudná a obtížná

Úbytek mladých lidí zajímajících se o ni

Nedostatek studentů matematických oborů na vysokých školách

Prohloubení těchto problémů v budoucnu

Úbytek kvalitních učitelů matematiky na základních a středních školách

Motivace

Výuka matematiky na mnoho školách v ČR = Počítání s čísly + Učení se vzorců nazpaměť

Nedostatek vyučovacích hodin

Matematika je veřejností špatně vnímaná

Nudná a obtížná

Úbytek mladých lidí zajímajících se o ni

Nedostatek studentů matematických oborů na vysokých školách

Prohloubení těchto problémů v budoucnu

Úbytek kvalitních učitelů matematiky na základních a středních školách

Řešení = Udělejme výuku matematiky atraktivnější

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

FindSequenceFunction[{1,3,7,13},n]

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

FindSequenceFunction[{1,3,7,13},n]

FindSequenceFunction[{1,5,11,19},n]

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

FindSequenceFunction[{1,3,7,13},n]

FindSequenceFunction[{1,5,11,19},n]

(n^2)-n+1 a (n^2)+n-1 jsou lichá pro každé kladné n!!!

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

FindSequenceFunction[{1,3,7,13},n]

FindSequenceFunction[{1,5,11,19},n]

(n^2)-n+1 a (n^2)+n-1 jsou lichá pro každé kladné n!!!

⋯ = 1+(3+5)+(7+9+11)+ ⋯ +(((n^2)-n+1)+ ⋯ +((n^2)+n-1))=

[1+(3+5)+ ⋯ +(((n^2)-n+1)+((n^2)-n+3)+ ⋯ +((n^2)-n+(2n-1)))= ]

1+3+5+ ⋯ +(2·((n·(n+1))/2)-1)=?

Součet prvních n krychlí: (∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)

(∑_i^n)(i^3)

3. mocnina kladného čísla n je zapsatelná jako součet n po sobě jdoucích lichých kladných čísel!

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Rectangle[{0,k},{k*k,0}]},{k,1,n,1}],
Table[{Blue,Line[{{0,(n-k)},{n*n-k,(n-k)},{n*n-k,0}}]},{k,1,n-1,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{n*n,k}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n}}]},{k,1,n*n,1}],
Table[{Red,Dashed,Line[{{k*n,0},{k*n,n}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style[n*n-k+1+(n-k),s/(n*7),Blue],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset[Style["←",s/(n*7)],{n*n-k-1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2}],{k,1,n-1,1}],
Table[Inset[Style["↓",s/(n*7)],{n*n-k+1/2,((n-k)+(n-(k-1)))/2-1}],{k,1,n-1,1}],
Inset[Style[n*n*n ,s/(n*7),Red,Bold],{n*n+1,n/2}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/30],Directive[Blue,s/30]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,300,"image size"},300,1000,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Up,Up}]

(∑_(i=1)^n)(((i))^(3 ))= (1^3) + (2^3) + ⋯ + (n^3)=

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)+ ⋯ +((Subscript[O, 1])(n)+ ⋯ +(Subscript[O, n])(n))=⋯

FindSequenceFunction[{1,3,7,13},n]

FindSequenceFunction[{1,5,11,19},n]

(n^2)-n+1 a (n^2)+n-1 jsou lichá pro každé kladné n!!!

⋯ = 1+(3+5)+(7+9+11)+ ⋯ +(((n^2)-n+1)+ ⋯ +((n^2)+n-1))=

[1+(3+5)+ ⋯ +(((n^2)-n+1)+((n^2)-n+3)+ ⋯ +((n^2)-n+(2n-1)))= ]

1+3+5+ ⋯ +(2·((n·(n+1))/2)-1)=?

Hledaný součet je součtem prvních ((n·(n+1))/2) lichých kladných čísel!!!

Součet prvních n lichých kladných čísel: (∑_(i=1)^n)(((2i-1))^( )) = 1 + 3 + ⋯ + (2n - 1)

Součet prvních n lichých kladných čísel: (∑_(i=1)^n)(((2i-1))^( )) = 1 + 3 + ⋯ + (2n - 1)

Manipulate[Graphics[{Table[{Green,Disk[{(1/2) (2 k-1),(1/2) (2 l-1)},0.45]},{k,1,n,1},{l,1,n,1}],Table[{Thick,Line[{{k,0},{k,k}}]},{k,1,n,1}],Table[{Thick,Line[{{0,k},{k,k}}]},{k,1,n,1}],Table[Inset[Style[2 k-1,Red,Large],{(1/2) (2 k-1),(1/2) (2 k-1)}],{k,1,n,1}]},Axes->True,AxesStyle->{Directive[(s/20)],Directive[(s/20)]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,10,1,Appearance->"Labeled"},{{s,400,"image size"},300,500,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Left,Left}]

Součet prvních n lichých kladných čísel: (∑_(i=1)^n)(((2i-1))^( )) = 1 + 3 + ⋯ + (2n - 1)

Manipulate[Graphics[{Table[{Green,Disk[{(1/2) (2 k-1),(1/2) (2 l-1)},0.45]},{k,1,n,1},{l,1,n,1}],Table[{Thick,Line[{{k,0},{k,k}}]},{k,1,n,1}],Table[{Thick,Line[{{0,k},{k,k}}]},{k,1,n,1}],Table[Inset[Style[2 k-1,Red,Large],{(1/2) (2 k-1),(1/2) (2 k-1)}],{k,1,n,1}]},Axes->True,AxesStyle->{Directive[(s/20)],Directive[(s/20)]},ImageSize->s],{{n,1,"step n"},1,10,1,Appearance->"Labeled"},{{s,400,"image size"},300,500,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Left,Left}]

(∑_(i=1)^n)(2i-1)

Součet prvních n součinů tří po sobě jdoucích kladných čísel: (∑_(i=1)^n)i·(i+1)·(i+2) = 1·2·3 +2·3·4+⋯+n·(n+1)·(n+2)

Součet prvních n součinů tří po sobě jdoucích kladných čísel: (∑_(i=1)^n)i·(i+1)·(i+2) = 1·2·3 +2·3·4+⋯+n·(n+1)·(n+2)

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Polygon[{{0,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,(k)*(k-1)/2},{0,(k)*(k-1)/2}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{(n+2)*(n+3)/2,k}}]},{k,1,n*(n+1)/2,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n*(n+1)/2}}]},{k,1,(n+2)*(n+3)/2,1}],
{Blue,Inset[Style[(1·2·3),s/(n*16)],{3,1/2}]},
Table[{Blue,Inset[Style[(k·((1/2)·(k+1)·(k+2))),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/4,((k+1)*k/2+(k-1)*k/2)/2}]},{k,2,n,1}],
Table[{Blue,Inset[Style[(((1/2)·k·(k+1))·(k+2)),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/2+((k+2)*(k+3)-(k+1)*(k+2))/4,k*(k+1)/4}]},{k,2,n,1}],
Table[{Red,Line[{{(k+2)*(k+1)/2,(k-1)*k/2},{(k+2)*(k+1)/2,(k+1)*k/2}}]},{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s
],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,700,"image size"},600,1000,Appearance->"Labeled"}]

Součet prvních n součinů tří po sobě jdoucích kladných čísel: (∑_(i=1)^n)i·(i+1)·(i+2) = 1·2·3 +2·3·4+⋯+n·(n+1)·(n+2)

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Polygon[{{0,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,(k)*(k-1)/2},{0,(k)*(k-1)/2}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{(n+2)*(n+3)/2,k}}]},{k,1,n*(n+1)/2,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n*(n+1)/2}}]},{k,1,(n+2)*(n+3)/2,1}],
{Blue,Inset[Style[(1·2·3),s/(n*16)],{3,1/2}]},
Table[{Blue,Inset[Style[(k·((1/2)·(k+1)·(k+2))),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/4,((k+1)*k/2+(k-1)*k/2)/2}]},{k,2,n,1}],
Table[{Blue,Inset[Style[(((1/2)·k·(k+1))·(k+2)),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/2+((k+2)*(k+3)-(k+1)*(k+2))/4,k*(k+1)/4}]},{k,2,n,1}],
Table[{Red,Line[{{(k+2)*(k+1)/2,(k-1)*k/2},{(k+2)*(k+1)/2,(k+1)*k/2}}]},{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s
],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,700,"image size"},600,1000,Appearance->"Labeled"}]

Hledaný součet je obsahem obdélníka s délkami stran 1+2+⋯+n a 1+2+⋯+(n+2) !!!

Součet prvních n součinů tří po sobě jdoucích kladných čísel: (∑_(i=1)^n)i·(i+1)·(i+2) = 1·2·3 +2·3·4+⋯+n·(n+1)·(n+2)

Manipulate[
Graphics[{
Table[{Yellow,EdgeForm[{Thick,Blue}],Polygon[{{0,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,(k)*(k+1)/2},{(k+2)*(k+3)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,0},{(k+1)*(k+2)/2,(k)*(k-1)/2},{0,(k)*(k-1)/2}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dotted,Line[{{0,k},{(n+2)*(n+3)/2,k}}]},{k,1,n*(n+1)/2,1}],
Table[{Dotted,Line[{{k,0},{k,n*(n+1)/2}}]},{k,1,(n+2)*(n+3)/2,1}],
{Blue,Inset[Style[(1·2·3),s/(n*16)],{3,1/2}]},
Table[{Blue,Inset[Style[(k·((1/2)·(k+1)·(k+2))),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/4,((k+1)*k/2+(k-1)*k/2)/2}]},{k,2,n,1}],
Table[{Blue,Inset[Style[(((1/2)·k·(k+1))·(k+2)),s/(n*8)],{(k+1)*(k+2)/2+((k+2)*(k+3)-(k+1)*(k+2))/4,k*(k+1)/4}]},{k,2,n,1}],
Table[{Red,Line[{{(k+2)*(k+1)/2,(k-1)*k/2},{(k+2)*(k+1)/2,(k+1)*k/2}}]},{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s
],{{n,1,"step n"},1,7,1,Appearance->"Labeled"},{{s,700,"image size"},600,1000,Appearance->"Labeled"}]

Hledaný součet je obsahem obdélníka s délkami stran 1+2+⋯+n a 1+2+⋯+(n+2) !!!

(∑_(i=1)^n)i (i+1) (i+2)

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1)))

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1)))

Simplify[%]

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1)))

Simplify[%]

Manipulate[
Graphics[{Background->LightBlue,
Table[{Green,Line[{{1,0},{1,5*(∑_(i=1)^k)(1/(i (i+1)))}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Red,Line[{{0,5},{k+1,0}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Arrow[{{1,5*((k-1)/k+k/(k+1))/2},{7-(2*k-1)/2,5}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dashed,Line[{{0,5*(k/(k+1))},{1,5*(k/(k+1))}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[(1/(k·(k+1))),{7.2-(2*k-1)/2,5.2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset["+",{7.2-(2*k-2)/2,5.2}],{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s,
Ticks->{{1,2,3,4,5,6,7},{{5,1,1/30},{5/2,N[1/2],1/30},{5*2/3,N[2/3],1/30},{5*3/4,N[3/4],1/30},{5*4/5,N[4/5],1/30},{5*5/6,N[5/6],1/30},{5*6/7,N[6/7],1/30}}}],{{n,1,"step n"},1,6,1,Appearance->"Labeled"},{{s,550,"image size"},400,700,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Left,Left}]

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1)))

Simplify[%]

Manipulate[
Graphics[{Background->LightBlue,
Table[{Green,Line[{{1,0},{1,5*(∑_(i=1)^k)(1/(i (i+1)))}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Red,Line[{{0,5},{k+1,0}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Arrow[{{1,5*((k-1)/k+k/(k+1))/2},{7-(2*k-1)/2,5}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dashed,Line[{{0,5*(k/(k+1))},{1,5*(k/(k+1))}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[(1/(k·(k+1))),{7.2-(2*k-1)/2,5.2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset["+",{7.2-(2*k-2)/2,5.2}],{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s,
Ticks->{{1,2,3,4,5,6,7},{{5,1,1/30},{5/2,N[1/2],1/30},{5*2/3,N[2/3],1/30},{5*3/4,N[3/4],1/30},{5*4/5,N[4/5],1/30},{5*5/6,N[5/6],1/30},{5*6/7,N[6/7],1/30}}}],{{n,1,"step n"},1,6,1,Appearance->"Labeled"},{{s,550,"image size"},400,700,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Left,Left}]

Součet nekonečné řady: (∑_(i=1)^∞)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))+⋯ = ?

Součet (∑_(i=1)^n)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))

(∑_(i=1)^n)(1/(i (i+1)))

Simplify[%]

Manipulate[
Graphics[{Background->LightBlue,
Table[{Green,Line[{{1,0},{1,5*(∑_(i=1)^k)(1/(i (i+1)))}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Red,Line[{{0,5},{k+1,0}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Arrow[{{1,5*((k-1)/k+k/(k+1))/2},{7-(2*k-1)/2,5}}]},{k,1,n,1}],
Table[{Dashed,Line[{{0,5*(k/(k+1))},{1,5*(k/(k+1))}}]},{k,1,n,1}],
Table[Inset[(1/(k·(k+1))),{7.2-(2*k-1)/2,5.2}],{k,1,n,1}],
Table[Inset["+",{7.2-(2*k-2)/2,5.2}],{k,2,n,1}]
},Axes->True,AxesStyle->{Directive[Blue,s/50],Directive[Blue,s/50]},ImageSize->s,
Ticks->{{1,2,3,4,5,6,7},{{5,1,1/30},{5/2,N[1/2],1/30},{5*2/3,N[2/3],1/30},{5*3/4,N[3/4],1/30},{5*4/5,N[4/5],1/30},{5*5/6,N[5/6],1/30},{5*6/7,N[6/7],1/30}}}],{{n,1,"step n"},1,6,1,Appearance->"Labeled"},{{s,550,"image size"},400,700,Appearance->"Labeled"},ControlPlacement->{Left,Left}]

Součet nekonečné řady: (∑_(i=1)^∞)(1/(i·(i+1))) = (1/(1·2)) +(1/(2·3))+⋯+(1/(n·(n+1)))+⋯ = ?

(∑_(i=1)^∞)(1/(i (i+1)))